Die Schülerin Clarissa Merz und der Schüler Paul Volk haben untersucht, welche Experimente mit dem GPS-Sensor des Smartphones im Physik- und Mathematikunterricht möglich sind:

 

      1. Wissenschaftliches Poster zur Präsentation der Ergebnisse bei der Ausstellung

      2. Erklärung der Funktion des Sensors mit einem Analogieexperiment

      3. Experiment: GPS Puzzle im Unterricht

      4. Experiment: Genauigkeit von GPS 

      5. Experiment: Bestimmung des Radius der Erde mit GPS auf dem Schulhof

      6. Experiment: Berechnung des Energieumsatzes beim Joggen mit GPS Daten

      7. Experiment: Berechnung von Flächen mit GPS Apps

      8. Geeignete Apps für Experimente mit dem GPS-Sensor

      9. Literatur zu den durchgeführten Experimenten und weitere Ideen

 

 

 

1. Wissenschaftliches Poster zur Präsentation der Ergebnisse bei der Ausstellung

05 GPS Sensor Stand GPS
Download Poster: DINA3 PDF Experimente am Ausstellungsstand zum GPS-Sensor.

 

 

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2. Erklärung der Funktion des Sensors mit einem Analogieexperiment

Forschungsfrage: Wie kann die Funktion von GPS auf Schulniveau erklärt werden?

Die Erklärung der Funktion des globalen Positionsbestimmungssystems (Global Positioning System - GPS) ist unter Berücksichtigung der relativistischen Effekte sehr komplex und geht weit über das Schulniveau hinaus. Wir suchten deshalb nach Vereinfachungen zur Erklärung von GPS und sind in der Literatur fündig geworden: Priemer et al. veröffentlichten im Jahr 2009 ein Analogieexperiment, bei dem zum Verständnis das mathematische Niveau der 10. Klasse (Vektorrechnung) ausreichend ist [1], [2]. Wir nahmen Kontakt zu Herrn Prof. Priemer von der HU Berlin auf, der uns das Analogieexperiment für die Ausstellung zur Verfügung stellte.

 

Funktion GPS

 

Das Experiment besteht aus  drei Lautsprechern, die einen Meter über dem Tisch angebracht sind. Alle drei Sekunden geben die Lautsprecher schnell nacheinander jeweils ein "Knack-Geräusch" von sich. Auf dem Tisch befindet sich ein blaues Spielzeugauto mit einem Mikrofon, dass die Knackgeräusche der drei Lautsprecher aufnimmt. Sowohl die Lautsprecher als auch das Mikrofon sind mit der "GPS-Einheit" verbunden. Auf der Anzeige der Einheit werden alle drei Sekunden die genauen Ortskoordinaten x und y des Autos auf dem Stadtplan sowie die Höhe z angegeben.

 Eigenschaft Analogieexperiment Echtes GPS
Sender Lautsprecher Satellitten
Empfänger Mikrofon GPS-Empfänger
Signalübertragung Schallwellen em-Wellen
Genauigkeit 1 cm 10 m
Mindestzahl Sender 3 4
Position Sender fest variabel

Tabelle zum Vergleich des Analogieexperiments von Primer et al. mit dem echten GPS.

 

Die GPS-Einheit enthält einen Mikroprozessor, der die exakten Koordinaten des Autos (x, y, z) in folgenden Schritten emittelt:

  • Vom Mikroprozessor wird an den Lautsprecher L1 ein Knackgeräusch gesendet und vom Mikrofon auf dem Auto aufgenommen.

  • Aus der Laufzeit Δ t1 des Knacktons vom Lautsprecher L1 zum Mikrofon (Auto) berechnet der Mikroprozessor mit der Schallgeschwindigkeit (v = 330m/s) den direkten Abstand l1: Formel 1

  • Die Angabe der Positionen P des Lautsprechers PL1 (xL1, yL1, zL1) und des Autos  PAuto (x, y, z) erfolgt in 3D Koordinaten. Der Koordinatenursprung O (0|0|0) befindet sich an der Tischecke 1m unterhalb von Lautsprecher L1.

  • Danach knackt Lautsprecher L2 wobei wie oben der direkte Abstand l2 ermittelt wird. Als letztes knackt Lautsprecher L3 und der Abstand l3 wird bestimmt.

  • Die Lautsprecher L1, L2 und L3 befinden sich an festen Orten am Tisch (Länge l = x = 2m, Breite b = y = 1m) in einer Höhe von h = z = 1m.  Damit ergeben sich für die Koordinaten der Lautsprecher die folgenden Werte: Formel 2

  • Nach dem Einestzen der Werte in die erste Gleichung und der Berechnung des Betrag des Vektors folgt für l1 eine Wurzel in Abhängigkeit von x, y und z. Die gleiche Rechnung erfolgt für l2 und l3:Formel 3

  • In die drei Gleichungen werden die Laufzeiten t1, 2, 3 und die Schallgeschwindigkeit vSchall eingesetzt. Es resultiert ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt von Hand oder mit einem CAS System:Formel 4


Mit Hilfe von drei Lautsprechern (drei Satelliten) kann der Ort des Autos in den Koordinaten x, y und z exakt bestimmt werden. Die Gleichungen wurden so umgeformt, dass der Wert von z die ungenauste Ortskoordinate darstellt, da hier Messfehler der Größen x und y mit eingehen.

Beim echten GPS besitzen die Satelliten keine feste Position im Raum, weshalb ein vierter Satellit zur Ermittlung der Laufzeiten benötigt wird.

Das Analogieexperiment lässt sich sehr gut im fächerübergreifen Unterricht (Mathematik, Physik und Geographie) einsetzen. Im Fach NwT (Naturwissenschaft und Technik) der 10. Klasse soll das Experiment im nächsten Schuljahr mit einem programmierbaren Mikroprozessor von Schülerinnen und Schülern nachgebaut werden. Wir bedanken uns ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Priemer für die freundliche Leihgabe und die damit verbundene Unterstützung unserer Ausstellung.

 

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3. Experiment: GPS Puzzle für den Unterricht

Forschungsfrage: Können unterschiedliche Darstellungen von GPS Daten durch Schüler richtig zugeordnet werden?

In kostenlosen GPS Apps wie z. B. "Meine Tracks" sind zahlreiche Darstellungen der aufgenommen GPS Daten verfügbar. Während eines Marokko-Urlaubs wurden bei verschiedenen Reisearten (Spaziergang, Dromedar, Auto, Bus, Flugzeug) GPS Daten für wenige Minuten aufgezeichnet. Aus den Daten entstand eine binnendifferenzierte Aufgabenstellung für den Mathematikunterricht der Klassen 5-10.

 

Marokko 4 Marokko 1 Marokko 2 Marokko 3
Realsituation: Fahrt auf einer Bergstraße im Dades-Tal von Marokko nach unten. Darstellung der Fahrt ohne Karteneinblendung in der App. Höhen- und Geschwindigkeitsdarstellung in der App. Darstellung der Zahlen und Durchschnittswerte in der App.

 

Zur Lösung der Aufgabe im Mathematikunterricht wurden die Schülerinnen und Schüler zunächst in Gruppen aufgeteilt. Jede Gruppe konnte sich selbstständig eine Schwierigkeitsstufe zur Bearbeitung der Aufgabe wählen (Niveau 1-4). In der Unterstufe (Klassen 5-6) stand nur das Niveau 1-3 zur Auswahl. Das Ausschneiden der Karten erfolgte in allen Klassen als Hausaufgabe. Mit den Karten sollte innerhalb von einer Doppelstunde ein Lösungsposter erstellt werden. Im anschließenden Galeriespaziergang wurden die Poster von den Schülern gegenseitig korrigiert.

 

GPS Puzzle Arbeitsauftrag Marokko 5
Binnendifferenzierter Arbeitsauftrag zum GPS-Puzzle.
Download: Word, PDF
Lösungsposter einer Schülergruppe
der Klasse 9 mit zwei Fehlern.

 

Welche Inhalte und Kompetenzen können Schülerinnen und Schüler beim Bearbeiten einer solchen Aufgabe im Mathematikunterricht erlenen? Beim Puzzle lernen die Schüler einen mathematischen Sachverhalt aus verschiedenen Perspektiven kennen: grafisch (Diagramm), verbal (Beschreibung), numerisch (Tabelle) und symbolisch (Bild). Die Schülerinnen und Schüler müssen dabei zwischen den Darstellungen flexibel wechseln und Beziehungen zwischen den Karten des Puzzles knüpfen können. Dabei wird das logische Denken und die Übertragung auf den Alltag (Sonnenaufgang = Osten) gefördert. Ähnliche Kartenspiele sind in der Aufgabensammlung des EU Projekt Primas zu Dezimalzahlen, Termen und der Multiplikation für die Grundschule verfügbar.

Als Hausaufgabe über eine Woche hinweg sollten die Schülerinnen und Schüler mit der kostenlosen App "Meine Tracks" eigene Bewegungsprofile von vier Alltagssituationen aufnehmen und damit ein eigenes Kartenspiel erstellen.

 

Fahrrad Zugfahrt Wasserachterbahn SilverStar
   Hausaufgabe im Fach Mathematik: Erstellung eines eigenen GPS-Puzzles. Lösung einer Schülerin der 9. Klasse.
In den Achterbahnen werden die Geschwindigkeiten aufgrund der Bewegung nach oben / unten nicht richtig angezeigt.

 

 

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4. Experiment: Genauigkeit von GPS

Forschungsfrage: Kann man sich auf die Genauigkeit von GPS Daten blind verlassen?

Bei unseren GPS Messungen sind wir häufig auf Situationen und Zahlenwerte gestoßen, die einfach nicht sein konnten. Anhand von zwei Beispielen soll gezeigt werden, dass man sich auf die aufgenommenen GPS Daten sowohl in der Höhe (a) als auch in der Ebene (b) nicht blind verlassen sollte. 

a) GPS Ungenauigkeit in der Höhe
Eine ebene Strecke bei Denzlingen wurde einmal gejoggt und danach mit dem Fahrrad abgefahren. Die mit der App "Meine Tracks" aufgenommenen GPS Daten wurden aus der App exportiert und in die kostenlose Internetseite "GPS Viewer" zur Darstellung von Höhen- und Steigungsprofilen importiert. Trotz freier Sicht in den Himmel (viele Satelliten) zeigten sich bei beiden Routen unterschiedliche Höhenprofile mit Höhenunterschieden von bis zu 20m. Die aus den Höhenprofilen abgeleiteten Steigungsprofile sind nicht mehr vergleichbar.

Weg 1 Weg 2
Die ebene Strecke wurde gejoggt.
Nach einem Weg von 0,5km betrug die Höhe 265m und die Steigung: - 3%.
Die ebene Strecke wurde mit dem Fahrrad abgefahren.
Nach einem Weg von 0,5km betrug die Höhe 282m und die Steigung +2%.

 

b) GPS Ungenauigkeit in der Ebene
Beim Gang durch das Maisfeldlabyrinth in Opfingen wurden mit Hilfe der kostenlosen App "Meine Tracks" eine Karte der Irrwege erstellt. Aufgrund der Verwirrung im Labyrinth wurden manche Strecken bis zu fünfmal durchlaufen. Bei der Aufzeichnung lagen die vielfach begangenen schmalen Wege in der Kartendarstellung nicht immer aufeinander: Die Abweichung in der Ebene betrug bis zu 5m. 

Maisfeld Maisfeld GPS
Maisfeldlabyrinth bei Freiburg. Die gemessenen Wege im Maisfeldlabyrinth
liegen nicht genau aufeinander.

 

Insgesamt konnten wir feststellen, dass beim GPS-Empfang die Angaben der Ebenenkoordinaten wesentlich genauer als die Höhenangaben sind. Eine größere Höhengenauigkeit wäre durch die Kombination der GPS Daten mit dem Drucksensors des Smartphones möglich. Die Schülergruppe 3 zeigte im Experiment 7, dass sich mit Hilfe des Drucksensors in Smartphones über die barometrische Höhenformel präzise Höhenangaben ermitteln lassen.

 

Allgemein hängt der Empfang der GPS Daten und die damit erreichte Genauigkeit von vielen Faktoren ab:

  • Abschattung der GPS Signale in Häuserschluchten, im Tal, durch hohe Gebäude, ...

  • Dämpfung der GPS Signale durch Wolken, Kleidung, Blätter, ...

  • Reflexion der GPS Signale durch Hauswände, Berge, Wasser- und Schneeflächen, ...

  • Brechung der GPS Signale in der Ionosphäre, ...

  • Uhrenfehler und Umlaufschwankungen der Satelliten, ...

Mit Hilfe von des satellitengestützten Erweiterungssystem SBAS (Satellite Based Augmentation Systems) werden auf der Erde an bestimmten Referenzpunkten GPS Korrektursignale ermittelt und von zusätzlichen Satelliten an die GPS Empfänger gesendet. Mit dem Korrektursignal erreichen kompatible GPS Empfänger eine Genauigkeit von ca. ±1-3 m in der Ebene.

 

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5. Experiment: Bestimmung des Radius der Erde mit GPS auf dem Schulhof

Forschungsfrage: Kann mit dem Smartphone auf dem Schulhof der Umfang der Erde und der Radius bestimmt werden?

GPS Messdaten enthalten zunächst keine Ortsangaben sondern nur die Winkel der Längen- und Breitengrade. Der Breitengrad gibt an, wie nördlich oder südlich die Position in Bezug zum Äquator ist. Der Längengrad gibt an, wie weit im Osten oder Westen die Position in Bezug zum Null-Meridian (Linie durch die Londoner Sternwarte Greenwich) ist.

Smartphone Apps verwenden zur Anzeige der Längen- und Breitengrade unterschiedliche Formate:

  • Anzeige in Grad° mit Dezimalstellen (Koordinaten der Schule: 48.00470°N, 7.85905°E)

  • Anzeige in Grad° Bogenminuten' mit Dezimalstellen (Koordinaten der Schule: 48°0,282'N und 7°51,543'E)

  • Anzeige in Grad° Bogenminute' Bogensekunde" mit Dezimalstellen (Schule: 48°00'16.9"N und 7°51'32.6"E)

Die Ermittlung des genauen Winkels an einem Standort ist z. B. mit der kostenlosen Android App "GPS Status" in allen drei Formaten möglich. 

Im Unterricht ist es sinnvoll die Methode zur Ermittlung des Erdradius mit GPS Daten [3], [5], [6] zunächst an Google-Maps Bildern zu erklären. In Maps wurden dazu drei Punkte auf dem Schulhof in Nord-Süd und West-Ost Richtung markiert und als Favoriten gespeichert. Die zugehörigen Längen- und Breitengrade werden in zwei Formaten angezeigt. Über die rechte Maustaste und die Option "Längen messen" wurden die Wegdifferenzen zwischen den Punkten bestimmt.

N Karte 1 N Karte 3 N Karte 2 N Entfernung 1 N Entfernung 2
Wegpunkt Süd / West Wegpunkt Nord Wegpunkt Ost Entfernung Nord-Süd Entfernung Ost-West

 

Die Berechnung des Längenkreises (Nord-Süd-Richtung) erfolgt mit Hilfe der Maps Daten über den Dreisatz: Der Wegdifferenz von l = 0,08122km entspricht eine Winkeldifferenz von α = 0,00073°. Somit ergibt sich aus dem Gesamtwinkel von β = 360° ein Umfang des Längenkreises von U = 40.053,7km. Dies entspricht nach Umformung der Gleichung U = 2 π r einem Radius der Erde von r = 6.374km. Der Literaturwert für den Erdradius beträgt im Mittel r = 6.371km.

Die Berechnung des Umfangs des Breitenkreises (Ost-West-Richtung) erfolgt analog. Der Wegdifferenz von l = 0,08321km entspricht eine Winkeldifferenz von α = 0,00112°. Somit ergibt sich ein Umfang des Breitenkreises durch Freiburg von U = 26.746,1km.  

Laenge - Bildquelle Wikipedia - Bild ist gemeinfrei Erde 1 Breite - Bildquelle Wikipedia - Bild ist gemeinfrei
Längenkreise in Ost- und Westrichtung
0° ist die Linie durch Greenwich.
Kostenlose App "GPS Status" mit Winkelangabe, Kompass und Position der Satelitten. Breitenkreise in Nord- und Südrichtung
0° ist der Äquator.

 

Nach der Erklärung des Prinzips der Messung werden die Schüler in Gruppen aufgeteilt und ein Wettbewerb zur genausten Bestimmung des Erdumfangs wird ausgeschrieben. Jede Schülergruppe markiert auf dem Schulhof mit Kreide drei beliebige Standpunkte in Nord-Süd und West-Ost Richtung mit großem Abstand. Zur Orientierung bzgl. der Himmelsrichtungen kann der Kompass in der kostenlosen App "GPS Status" eingesetzt werden. Die GPS Breiten- und Längengrade der markierten Orte werden mit der App "GPS Status" gemessen. Die Ermittlung der Entfernung zwischen den  Punkten erfolgt mit dem 50m Maßband der Fachschaft Sport.

 

 

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6. Experiment: Bestimmung des Energieumsatzes beim Joggen mit GPS Daten

Forschungsfragen: Wie ermitteln Sport-Apps den Kalorienverbrauch?

Apps wie "Meine Tracks" oder "Runtastic"  zeigen den Kalorienverbrauch während einer sportlichen Betätigung an. Zur Überprüfung der angezeigte Kalorienzahl joggte ein männlicher Schüler (m = 65kg) eine Strecke von s = 7,16km mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von v = 10,8km/h. Der von der App angegebene Kalorienverlust betrug W = 463 kcal =  1813 kJ.

Joggen ist eine Sportart, bei der besonders viele Kalorien verbrannt werden. Der Energieumsatz ist dabei abhängig vom Lauftempo, der Laufstrecke, dem Höhenprofil, der Beschaffenheit des Wegs, den klimatischen Bedingungen, der Lauftechnik und dem Fitnessgrad des Sportlers.

Lauf 1

Grundlage der App zur Ermittlung der Kalorienzahl sind GPS Daten sowie die Abfrage von zwei Parametern: Das Gewicht des Sportlers und die sportliche Betätigung (Wandern, Radfahren, Joggen).

Wie in Experiment 4 gezeigt sind GPS Daten zur Steigung sehr ungenau und werden von der App vermutlich nicht berücksichtigt. Das Rechenmodell zur Bestimmung des Kalorienverbrauchs muss somit sehr einfach sein. 

Eine allgemein bekannte Faustformel zur Berechnung des Kalorienverbrauchs beim Joggen lautet: Energieumsatz W = 1 kcal (4 KJ) pro kg Körpergewicht pro Kilometer. Die Berechnung des gesamten Energieumsatzes W erfolgt durch Multiplikation des Wertes mit der gelaufenen Strecke s und dem Körpergewicht m:

W = 1 [kcal/(kg*km)] * Strecke s [km] * Masse m [kg]
oder
W = 4 [kJ/(kg*km)] * Strecke s [km] * Masse m [kg].

Mit der Formel erhält man für die Joggingstrecke einen Wert von W = 465,4kcal. Die Theorie stimmt ziemlich gut mit dem Wert der App (W = 463kcal) überein. Wir vermuten, dass Sport-Apps zur Berechnung des Energieumsatzes auf solch einfache Faustformeln zurückgreifen.

Allgemein sollte man dem in einer Smartphone-App angezeigten Wert zum Kalorienverbrauch nicht zu stark vertrauen.

 

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7. Experiment: Berechnung von Flächen mit GPS Apps

Forschungsfragen: Wie berechnen GPS Apps die Größe von Flächen? Stimmt der angegebene Wert mit der Realität überein?

Mit kostenlosen Apps wie z. B. "GPS Fields Area Measurement" können beliebige Längen (in m) und Flächen (in m²) im offenen Gelände bestimmt werden. Zur Ermittlung der Länge / Fläche bietet die App zwei Möglichkeiten an: GPS Messung und manuelle Messung. Bei der GPS Messung muss die Fläche (z. B. ein Feld oder ein Sportplatz) am Rand abgelaufen werden. Bei der manuellen Messung wird die Fläche auf dem Display mit einzelnen Punkten auf dem Satellitenbild markiert.

Um die Genauigkeit der gemessenen Fläche zu testen wurde der Rand eines Feldes bei Denzlingen abgelaufen und der angezeigte Wert mit einer Flächenmessung von Google-Maps verglichen. Zur Bestimmung der Fläche in Maps klickt man auf der Karte mit der rechten Maustaste auf "Entfernung messen" und erzeugt über einzelne Wegpunkte einen geschlossenen Bereich. Die Größe der eingeschlossenen Fläche wird automatisch angezeigt.

Die App ermittelte aus der Umrundung des Feldes zu Fuß eine Fläche von A = 0,180km², Maps zeigt eine Fläche von A = 0,179km² an. Beide Werte sind somit vergleichbar.

 

Acker 1 Elz
 Berechnung der Fläche innerhalb der App anhand von
GPS Daten der Feldumrundung zu Fuß.
Berechnung der Fläche des Feldes durch einzelne
Wegpunkte bei Google-Maps.

 

Wie berechnen Apps wie "GPS Fields Area Measurement" oder Internetseiten wie "Maps" aus einzelnen Punkten auf einer Landkarte die Größe einer Fläche? Die Mathematik dahinter beruht auf der Gauß´schen Schuhbandformel [4]. Mit der Formel von Carl Friedrich Gauß kann der Flächeninhalt von beliebig unregelmäßig ebenen Gebilden berechnet werden:

Schuh 1

Die Formel berechnet den Flächeninhalt eines Vielecks durch eine Aufteilung in einzelne Dreiecke. Die Namensgebung kam durch das dabei stattfindende „Über-Kreuz-Multiplizieren“ der Dreieckskoordinaten zustande, das an das Schnüren eines Schuhs erinnert.

Die Herleitung der Gauß´schen Schuhbandformel ist in der Schule auf unterschiedlichem mathematischem Niveau möglich: Über die Addition/Subtraktion von einzelnen Flächen (Termumformung - Klasse 9), über die Integralrechnung (Trapezsummen - Klasse 11) und über die Vektorrechnung (Kreuzprodukt - Klasse 12). Alle drei Zugängen zur Schuhbandformel sind in der Publikation von Wolfgang Riemer [4] sehr gut beschrieben.

 

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8. Geeignete Apps für Experimente mit dem CCD-Sensor

Für die Experimente auf dieser Homepage wurden die folgenden Apps eingesetzt:

 
System Name der App  Vor- und Nachteile der App Symbol QR Code
Android Meine Tracks

Vorteile:
Viele Darstellungsformen, Datenexport

Nachteil:
Viele Berechtigungen notwendig

MeineTracks Tracks QR Android
Android GPS Status

Vorteile:
Anzeige vieler GPS Parameter

Nachteil:
Kein Positionsanzeige innerhalb einer Karte.

GPS Status QR GPS Status
Android Runtastic

Vorteile:
Vielfältige Auswertungen möglich

Nachteil:
Anmeldung erforderlich.

RunTastic Runtastic QR Android
Android GPS Fields Area
Measure

Vorteile:
Zwei Methoden wählbar

Nachteil:
Kein Export der Daten

Fields Area Fields Area QR
iOS Runtastic

Vorteile:
Vielfältige Auswertungen möglich

Nachteil:
Anmeldung erforderlich.

RunTastic Runtastic QR iOS

 

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9. Literatur zu den durchgeführten Experimenten und weitere Ideen

 

    • [1] M. Braun, T. Wilhelm: Das GPS-System im Unterricht., in: Praxis der Naturwissenschaften - Physik in der Schule, 57. Jg. (2008), H. 4, S. 20–27.

    • [2] B. Priemer, T. Schmidt, J. Sniezyk: GPS-Navigation - ein akustisches Analogieexperiment., in: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 62. Jg. (2009), H. 6, S. 346–350.

    • [3] C. Neugebauer: GPS-Datenaufzeichnung mit Smartphones., in: PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 55. Jg. (2013), H. 53, S. 38–40. Download PM Ausgabe

    • [4] W. Riemer: Die Gauß'sche Schuhbandformel: wie GPS-Geräte Flächen messen., in: PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 55. Jg. (2013), H. 53, S. 20–24. Download PM Ausgabe

    • [5] W. Riemer: GPS-Daten aufarbeiten - eine Gebrauchsanweisung., in: PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 55. Jg. (2013), H. 53, S. 34–37. Download PM Ausgabe

    • [6] W. Riemer: Mit GPS und Dreisatz auf dem Schulhof die Erde vermessen., in: PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 55. Jg. (2013), H. 53, S. 10–13. Download PM Ausgabe

    • [7] W. Riemer: Mit GPS und Vektoren in die Kurve., in: PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 55. Jg. (2013), H. 53, S. 28–33. Download PM Ausgabe

    • [8] W. Riemer, G. Greefrath: Mit Positionen rechnen - GPS im Mathematikunterricht nutzen., in: PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 55. Jg. (2013), H. 53, S. 2–9. Download PM Ausgabe

 

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Autoren / Bilder / Experimente:
Clarissa Merz und Paul Volk, Schüler der Kursstufe II, Abitur 2015, Friedrich-Gymnasium Freiburg
Klasse 9b, Schuljahr 2014/15, Mathematikunterricht, Friedrich-Gymnasium Freiburg
Dr. Patrick Bronner, Physik- und Mathematiklehrer, Friedrich-Gymnasium Freiburg

CC BY-NC-SA 4.0 © Patrick Bronner (Friedrich-Gymnasium Freiburg / mascil project)